이항연산, 체, 명제

이항연산 (Binary operation)

• 정의
  • 두 항 간에 이루어지는 연산.

• 성질 : 교환 법칙(Commutative)
  • 연산자(Operator)를 기준으로 피연산자(Operand)의 위치를 바꿔도 동일한 값이 나온다.

  $a + b = b + a\\a \times b = b \times a\\\vec a\cdot \vec b=\vec b \cdot \vec a$

성질 : 결합 법칙 (Associativity)

• 피연산자의 연산의 우선순위(Order of operations)를 바꿔도 동일한 값이 나온다.

$(a+b)+c = a + (b+c)\\(a\times b) \times c = a \times (b \times c)$

성질 : 분배 법칙 (Distributivity)

주어진 집합 S에 대한 두 이항연산$\space \bullet \space$와 +가 있을 때,

S의 임의의 원소 $a,\space b, \space c$ 에 대해서

$a \bullet (b + c) = (a \bullet b)+(a\bullet c)$

성립하면, 연산 $\bullet$ 은 연산 +에 대해 좌분배법칙(left-distributive)이 성립한다고 한다.

$(b + c) \bullet a = (b \bullet a) + (c \bullet a)$

성립하면, 연산 $\bullet$ 은 연산 +에 대해 우분배법칙(right-distributive)이 성립한다고 한다.

연산 +에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙이 모두 성립한다면 연산 $\bullet$ 은 연산 + 에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다.

$a \times (b + c) = (a\times b) + (a\times c)\\\vec a \cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b +\vec a\cdot\vec c\\\vec a \times(\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b +\vec a\times\vec c$

항등원 (Identity element)

• 정의

  임의의 수 $a$에 대하여 어떤 수를 연산했을 때 처음의 수 $a$가 되도록 만들어주는 수를 말한다.

• 덧셈과 뺄셈에 대한 항등원 0이다.

  $x+0=x\\x-0=x$

• 곱셈과 나눗셈에 대한 항등원은 1이다.

  $x\times 1=x\\x\div1=x$

역원 (Inverse element)

• 정의
  • 두 값을 연산한 결과가 항등원일 때, 다른 한 쪽을 이르는 말이다.

• 덧셈에 대하여
  • $x$가 피연산자로 있는 덧셈에 대한 역원은 $-x$ 이다.

• 뺄셈에 대하여
  • $x$가 피연산자로 있는 뺄셈에 대한 역원은 $x$ 이다.

• 곱셈에 대하여
  • $x$가 피연산자로 있는 곱셈에 대한 역원은 $\frac{1}x$ 이다.

• 나눗셈에 대하여
  • $x$가 피연산자로 있는 나눗셈에 대한 역원은 $x$ 이다.

명제 (Proposition)

• 정의
  1. 논리학적으로 뜻이 분명한 문장.
  2. 참 혹은 거짓으로 검증할 수 있고, 가치판단이 개입될 수 없는 문장 또는 식.

• 명제의 예시
  • $1+1=2$ (참)
  • $2\times4=7$ (거짓)
  • $a>1, b<-1\rightarrow b+1=a$ (거짓)
  • $k$ = 양의 정수, $x\ne0\rightarrow -kx = x$ (거짓)

• 명제가 아닌 것
  • $x$는 자연수이다.
  • 수학은 재미있다.

• 형식
  • 두 조건에 $p,q$에 대하여 '$p$이면 $q$이다.' $p\rightarrow q$

• 공리 (Axiom)
  • 정의

    주어진 이론 체계 안에서는 증명없이 참인 것으로 받아들이는 명제를 일컫는 말.

  • 명제

    가치판단이 개입될 수 없는, 누구라도 참인지 거짓인지 판단을 할 수 있는 문장이나 식.

  • 예시
    1. 명제 P가 성립한다면, 명제 'P 또는 Q'도 성립한다.
    2. 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다.
    3. $a=b$ 이면, $a+c=b+c$ 이다.

• 정리 (Theorem)
  • 정의나 공리에 의해 가정(assumption)으로부터 증명된 명제를 말함.

체 (Field)

• 정의
  • 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산을 집합 안에서 소화할 수 있는 집합을 의미.

• 닫혀있다.
  • 예를 들어, 어떤 유리수에 대해서 사칙연산한 결과가 유리수로 나와야 한다.

  

공리

1. 덧셈, 곱셈에 대해서 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

2. 덧셈의 항등원 0이 존재하고, 곱셈의 항등원 1이 존재한다.

3. 모든 원소 $a$에 대해 역원 $-a$ 가 존재한다. 즉, 뺄셈이 가능하다.

4. 0이 아닌 모든 원소 $a$에 대해 $a^{-1}$가 존재한다 즉, 체에서는 0 이외의 수로 나눗셈을 할 때, 나머지가 존재하면 안된다.

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